Όλα τα κρυσταλλικά σχήματα (συγκριτικά)

Κρυσταλλικό σχήμα είναι ένα σύνολο εδρών, τα οποία έχουν την ίδια σχέση ως προς τα στοιχεία συμμετρίας μιας κρυσταλλικής τάξης ή, αλλιώς, έχουν την ίδια σχέση ως προς τους κρυσταλλογραφικούς άξονες.

Σε κάθε τάξη υπάρχουν ορισμένα απλά κρυσταλλικά σχήματα που προκύπτουν με τη συμμετρική επανάληψη μιας έδρας από τα στοιχεία συμμετρίας αυτής της τάξης. Η έδρα αυτή έχει ορισμένη θέση για κάθε σχήμα ως προς τους κρυσταλλογραφικούς άξονες που δηλώνεται από τους δείκτες hkl (βλ. Δείκτες).

Ένα κρυσταλλικό σχήμα συμβολίζεται με {hkl} με τους δείκτες μέσα σε άγκιστρα.

Ο αριθμός των εδρών κάθε σχήματος εξαρτάται αφενός από τη θέση της έδρας ως προς τους κρυσταλλογραφικούς άξονες και αφετέρου από τα στοιχεία συμμετρίας της κρυσταλλικής τάξης.

Παράδειγμα: Στο εξάεδρο [1] η έδρα (100) είναι κάθετη προς τον κρυσταλλογραφικό άξονα a (≡Λ⁴) και παράλληλη προς τους άλλους δύο άξονες b και c (≡2Λ⁴). Και οι 6 έδρες του εξεαέδρου έχουν την ίδια σχέση ως προς τους άξονες Λ⁴ ή ως προς τους κρυσταλλογραφικούς άξονες a, b και c. Το εξάεδρο είναι ένα κρυσταλλικό σχήμα.

Παράδειγμα: Αντίστοιχο παράδειγμα είναι το οκτάεδρο [2] που είναι ένα άλλο κρυσταλλικό σχήμα. Εδώ όλες οι έδρες τέμνουν και τους τρεις κρυσταλλογραφικούς άξονες a, b και c σε ίσες αποστάσεις. Αυτό συμβολίζεται με {111}. Το οκτάεδρο ανήκει στην ολοεδρία του κυβικού όπου τα στοιχεία συμμετρίας είναι 3Λ⁴ 4L³ 6L² 3Π 6Ρ C.

Για να δούμε, όμως, πως σχηματίζεται από τα στοιχεία συμμετρίας της τάξης αυτής. Η έδρα (111) κόβει τους τους κρυσταλλογραφικούς άξονες a, b και c σε ίσες αποστάσεις [3]. Ο κατακόρυφος άξονας Λ⁴ την περιστρέφει και την επαναλαμβάνει 4 φορές [4]. Στη συνέχεια το επίπεδο συμμετρίας Π κατοπτρίζει τις 4 παραχθείσες έδρες [5] και έτσι τελικά σχηματίζεται το οκτάεδρο [6].

Στο εξάεδρο {100} και το οκτάεδρο {111} οι έδρες έχουν συγκεκριμένο προσανατολισμό. Ένα τέτοιο σχήμα, του οποίου οι έδρες έχουν ειδική θέση ως προς τους κρυσταλλογραφικούς άξονες (π.χ. κάθετη ή παράλληλη σε άξονα ή επίπεδο συμμετρίας) ή γενικότερα έχουν συμμετρική θέση στον κρύσταλλο, καλείται ειδικό σχήμα.

Αν όμως θεωρήσουμε μία έδρα με δείκτες (hkl), δηλαδή που έχει τυχαία θέση ως προς τους κρυσταλλογραφικούς άξονες a, b και c, αυτή με την επανάληψη από τα ίδια στοιχεία συμμετρίας θα δώσει ένα κρυσταλλικό σχήμα, το οποίο θα έχει προφανώς τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό εδρών. Ένα τέτοιο σχήμα {hkl} καλείται γενικό σχήμα.

Όπως είδαμε, οι 32 κρυσταλλικές τάξεις ομαδοποιούνται σε 7 κρυσταλλικά συστήματα. Όλες οι τάξεις του ίδιου συστήματος έχουν παρόμοια, όχι όμως τα ίδια, στοιχεία συμμετρίας. Κάποιες έχουν περισσότερα και κάποιες λιγότερα.

Η τάξη ενός κρυσταλλικού συστήματος που έχει το μεγαλύτερο αριθμό στοιχείων συμμετρίας ονομάζεται ολοεδρία. Το γενικό σχήμα {hkl} της ολοεδρίας έχει τον μεγαλύτερο αριθμό εδρών.

Οι υπόλοιπες τάξεις του συστήματος, που έχουν μικρότερο αριθμό στοιχείων συμμετρίας, θα έχουν γενικά σχήματα {hkl} με λιγότερες έδρες. Συγκεκριμένα οι υπόλοιπες τάξεις είναι ημιεδρικές ή τεταρτοεδρικές της ολοεδρίας και ονομάζονται ημιεδρίες ή τεταρτοεδρίες, αντίστοιχα. Δηλαδή, στις ημιεδρίες το γενικό σχήμα έχει τον μισό αριθμό εδρών από το γενικό σχήμα της ολοεδρίας, ενώ στις τεταρτοεδρίες το ένα τέταρτο.

Ας πάρουμε για παράδειγμα το κυβικό σύστημα. Αυτό έχει πέντε τάξεις: Ολοεδρία, ολαξονική ημιεδρία, παρημιεδρία, ανθημιεδρία και τεταρτοεδρία.

Παράδειγμα: Στην ολοεδρία του κυβικού (3Λ⁴ 4L³ 6L² 3Π 6Ρ C) το γενικό σχήμα {hkl} είναι το εξάκις οκτάεδρο [7] που έχει 48 έδρες τις περισσότερες δυνατές.

Παράδειγμα: Στις ημιεδρίες, ολαξονική ημιεδρία (3Λ⁴ 4L³ 6L²), παρημιεδρία (3Λ² 4L³ 3Π C) και ανθημιεδρία (3Λ² 4L³_πολ 6P) τα γενικά σχήματα είναι αντίστοιχα το πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο [8], το διδωδεκάεδρο [9] και το εξάκις τετράεδρο [10], τα οποία έχουν 24 έδρες.

Παράδειγμα: Τέλος, στην τεταρτοεδρία (3Λ² 4L³_πολ) το γενικό σχήμα είναι το τεταρτοεδρικό πενταγωνικό δωδεκάεδρο [11] που έχει 12 έδρες.

Στα υπόλοιπα συστήματα, όπου η συμμετρία χαμηλώνει, τα γενικά σχήματα θα έχουν προφανώς μικρότερο αριθμό εδρών.

Παράδειγμα: Ας συγκρίνουμε τις ολοεδρίες του κυβικού, του τετραγωνικού και του ρομβικού. Στην πρώτη το γενικό σχήμα είναι το εξάκις οκτάεδρο [7] που όπως είδαμε έχει 48 έδρες, ενώ στην ολοεδρία του τετραγωνικού το γενικό σχήμα είναι η διτετραγωνική αμφιπυραμίδα [12] που έχει 16 έδρες και στην ολοεδρία του ρομβικού είναι η ρομβική αμφιπυραμίδα [13] που έχει 8 έδρες.